пятница, 1 февраля 2013 г.

смо с ожиданиями формулы

2 Mb.страница6/15Дата конвертации21.09.2011Размер2 Mb.Тип Смотрите также:           6           ^ Схема гибели и размножения. Мы знаем, что имея в распоряжении размеченный граф состояний, можно легко написать уравнения Колмогорова для вероятностей состояний, а также написать и решить алгебраические уравнения для финальных вероятностей. Для некоторых случаев удается последние уравнения решить заранее, в буквенном виде. В частности, это удается сделать, если граф состояний системы представляет собой так называемую «схему гибели и размножения». Граф состояний для схемы гибели и размножения имеет вид, показанный на рис. 19.1. Особенность этого графа в том, что все состояния системы можно вытянуть в одну цепочку, в которой каждое из средних состояний (S1, S2, ..., Sn-1) связано прямой и обратной стрелкой с каждым из соседних состояний ЂЂЂ правым и левым, а крайние состояния (S0, Sn) ЂЂЂ только с одним соседним состоянием. Термин «схема гибели и размножения» ведет начало от биологических задач, где подобной схемой описывается изменение численности популяции. Схема гибели и размножения очень часто встречается в разных задачах практики, в частности ЂЂЂ в теории массового обслуживания, поэтому полезно, один раз и навсегда, найти для нее финальные вероятности состояний. Предположим, что все потоки событий, переводящие систему по стрелкам графа,ЂЂЂ простейшие (для краткости будем называть и систему S и протекающий в ней процесс ЂЂЂ простейшими). Пользуясь графом рис. 19.1, составим и решим алгебраические уравнения для финальных вероятностей состояний (их существование вытекает из того, что из каждого состояния можно перейти в каждое другое, и число состояний конечно). Для первого состояния S0 имеем: (8.1) Для второго состояния S1: В силу (8.1) последнее равенство приводится к виду далее, совершенно аналогично и вообще где k принимает все значения от 0 до n. Итак, финальные вероятности р0, p1,..., рn удовлетворяют уравнениям (8.2) кроме того, надо учесть нормировочное условие p0 + р1+ р2+ЂЂЂ+ рn=1 (8.3) Решим эту систему уравнений. Из первого уравнения (8.2) выразим р1 через р0. (8.4) Из второго, с учетом (8.4), получим: (8.5) из третьего, с учетом (8.5), (8.6) и вообще, для любого k (от 1 до N): (8.7) Обратим внимание на формулу (8.7). В числителе стоит произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих слева направо (с начала и до данного состояния Sk), а в знаменателе ЂЂЂ произведение всех интенсивностей, стоящих у стрелок, ведущих справа налево (с начала и до Sk). Таким образом, все вероятности состояний p1, р2, ЂЂЂ, pn выражены через одну из них (p0). Подставим эти выражения в нормировочное условие (8.3). Получим, вынося за скобку p0: отсюда получим выражение для р0. (8. 8) (скобку мы возвели в степень -1, чтобы не писать двухэтажных дробей). Все остальные вероятности выражены через р0 (см. формулы (8.4) ЂЂЂ (8.7)). Заметим, что коэффициенты при p0 в каждой из них представляют собой не что иное, как последовательные члены ряда, стоящего после единицы в формуле (8.8). Значит, вычисляя р0, мы уже нашли все эти коэффициенты. Полученные формулы очень полезны при решении простейших задач теории массового обслуживания.9. Теория массового обслуживания 9.1. Задачи теории массового обслуживанияПри исследовании операций часто приходится сталкиваться с работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО). Примерами таких систем могут служить: телефонные станции, ремонтные мастерские, билетные кассы, справочные бюро, магазины, парикмахерские и т. п. Каждая СМО состоит из какого-то числа обслуживающих единиц (или «приборов»), которые мы будем называть каналами обслуживания. Каналами могут быть: линии связи, рабочие точки, кассиры, продавцы, лифты, автомашины и др. СМО могут быть одноканальными и многоканальными. Всякая СМО предназначена для обслуживания какого-то потока заявок (или «требований»), поступающих в какие-то случайные моменты времени. Обслуживание заявки продолжается какое-то, вообще говоря, случайное время Тоб, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО скапливается излишне большое число заявок (они либо становятся в очередь, либо покидают СМО необслуженными); в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой или вообще простаивать. В СМО происходит какой-то СП с дискретными состояниями и непрерывным временем; состояние СМО меняется скачком в моменты появления каких-то событий (или прихода новой заявки, или окончания обслуживания, или момента, ко

Курс лекций по дисциплине «Моделирование»

Схема гибели и размножения - Курс лекций по дисциплине «Моделирование»

Комментариев нет:

Отправить комментарий